Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）在函数图像上是否存在两个不同的点，使直线垂直轴，若存在，求出两点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 函数的定义域为;(2)见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案;

（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；

(3) 假设函数图象上存在两点A(,),, 使直线垂直轴，则，

经推理不成立，故不存在.

试题解析：

(1) 由 ,

∴ 函数的定义域为

(2) ∵f (－x)＝ + lg＝– lg＝－f (x),

∴ f (x)是奇函数

（3）假设函数图象上存在两点A(,),,

使直线AB恰好与y轴垂直，其中．

即当时， , 不妨设,

于是

由

又

, ∴ , 与＝矛盾．

故函数图象上不存在两个不同的点A、B，使直线AB垂直y轴．