Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′．
（1）△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中点，求证：EQ⊥平面A′FD
（2）当E、F分别是AB、BC的中点时，求二面角A′-EF-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）只需证明EQ⊥A′F，EQ⊥A′D，根据等腰三角形中线性质及线面垂直的性质可证明；
（2）取EF中点O，连接A′O，OD，可证∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角，利用余弦定理可求得cos∠A′OD，从而可求角∠A′OD；

解答：解：（1）∵DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，A′E∩A′F=A′，
∴DA′⊥面A′EF，
∴DA′⊥EQ，
又△A′EF为正三角形，Q′为A′F的中点，
∴EQ⊥A′F，A′F∩DA′，
∴EQ⊥面DA′F；
（2）解：∵E、F为AB、BC的中点，
∴A′E=A′F=1，ED=FD=

AD2+AE2

=

5

，EF=

BE2+BF2

=

2

，
取EF中点O，连接A′O，OD，则A′O⊥EF，DO⊥EF，
∴∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角，
OD=

ED2-OE2

=

5-( 2 2 )2

 =

3 2

2

，A′O=

A′E2-EO2

=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
在△A′OD中，cos∠A′OD=

A′O2+OD2-A′D2

2A′O•OD

=

1 2 + 9 2 -4

2× 2 2 × 3 2 2

=

1

3

，
∴∠A′OD=arccos

1

3

，
故二面角A′-EF-D大小为arccos

1

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，此题是中档题．