Question

【题目】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，．

（1）求证：CF⊥平面BDE；

（2）求二面角A-BE-D的大小。

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) （或）

【解析】

（1）连接FG，可证得四边形CEFG为菱形，故得.再根据平面ABCD平面ACEF得到平面ACEF，从而．由线面垂直的判定定理可得结论成立．（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDE和平面ABE的法向量，求出两向量的夹角的余弦值并结合图形可得所求角的大小．

（1）连接FG，

∵，

∴四边形CEFG为菱形,

∴.

∵ABCD为正方形，

∴，

又平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEF=AC，BD平面ABCD

∴平面ACEF，

∵CF平面ACEF，

∴．

又，BD平面BDE, BG平面BDE，

∴平面BDE．

（1）∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，

∴CE⊥平面ABCD，

以C为原点，CB为轴，CD为轴，CE为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，，

由（1）可得是平面BDE的一个法向量．

设平面ABE的一个法向量为

由，得，

令，得，

∴，

由图形可得二面角A-BE-D为锐角，

∴二面角A-BE-D的大小为（或）．