Question

已知双曲线

x2

2

-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程．

Answer 1

分析：由直线的斜率公式与直线的点斜式方程，求出直线A₁P、A₂Q方程分别为y=

y1

x1+ 2

（x+

2

）、y=

-y1

x1- 2

（x-

2

）．将两条直线方程的左右两边对应相乘，并利用点P（x₁，y₁）在双曲线

x2

2

-y²=1上对所得的式子化简，整理得

x2

2

+y²=1，即为轨迹E的方程，再对所求的轨迹加以检验即可得到答案．

解答：解：由题设知|x₁|＞

2

，A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
∵直线A₁P的斜率为k₁=

y1

x1+ 2

，
∴直线A₁P的方程为y=

y1

x1+ 2

（x+

2

），…①
同理可得直线A₂Q的方程为y=

-y1

x1- 2

（x-

2

）．…②
将①②两式相乘，得y²=

y12

2-x12

（x²-2）．…③
∵点P（x₁，y₁）在双曲线

x2

2

-y²=1上，
∴

x12

2

-y₁²=1，可得y₁²=

x12

2

-1=

1

2

（x₁²-2），…④
将④代入③，得y²=

1 2 (x12-2)

2-x12

（x²-2）=

1

2

x²-1，整理得

x2

2

+y²=1，即为轨迹E的方程．
∵点P、Q不重合，且它们不与A₁、A₂重合，
∴x≠0且x≠±

2

，轨迹E的方程为

x2

2

+y²=1（x≠0且x≠±

2

）

点评：本题给出双曲线上两条动直线，求直线的交点轨迹方程．着重考查了双曲线的标准方程、直线的基本量与基本形式和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．