Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）数列{y_n}，{b_n}满足y=a_2n-1，b₁=y₁，且当n≥2时bn

=y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．证明当n≥2时，

bn+1

(n+1)

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的条件下，试比较(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)与4的大小关系．

Answer 1

分析：（1）设n=2k-1，利用条件可证数列（a_2k-1}为等差数列．从而可求其通项；
（2）先求得，

bn

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

，然后再写一式，两式相减即可证得；
（3）先计算的当n=1时，1+

1

b1

=2＜4；当n=2时，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)=2×

5

4

＜4，再证当n≥3时，利用放缩法结合裂项求和即可的结论．

解答：解：（1）设n=2k-1
由a2k+1=(1+2|cos

(2k-1)π

2

|)a2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a2k-1+1
∴a_2k+1-a_2k-1=1
∴数列（a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=k（k∈N^*）；        …（4分）
（2）证：y=a_2n-1=n．当n≥2时，

bn

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

…①
∴

bn+1

(n+1)2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

…②…（6分）
②式减①式，有

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

，得证．                …（8分）
（3）解：当n=1时，1+

1

b1

=2＜4；
当n=2时，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)=2×

5

4

＜4，
由（2）知，当n≥2时，

1+bn

bn+1

=

n2

(n+1)2

，
∴当n≥3时，(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)=2[1+

1

22

+…+

1

n2

]
∵

1

n2

＜ 

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
∴(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)＜2(2-

1

n

)＜4     …（14分）

点评：本题以数列为载体，考查等差数列的定义，考查数列与不等式的结合，有较强的技巧性．