Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ） 设a＜b，比较

f(a)+f(b)

2

，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函数的反函数，利用直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 利用导数求函数的最值，利用最值讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ）利用作差法比较两个数的大小．

解答：解：（Ⅰ） 函数f（x）的反函数为g（x）=lnx，设y=kx+1与g（x）相切于点P（x₀，y₀），
则

kx0+1=lnx0 k=g′(x0)= 1 x0

，解得x0=e2，k=e-2，所以k=e^-2．
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数，即f（x）=mx²根的个数．
即m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，则h'（x）=

ex(x-2)

x3

，
当0＜x＜2时，h'（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞2时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，所以当x=2时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（2）=

e2

4

．
当0＜m＜

e2

4

．时，有0个公共点，
当m=

e2

4

时，有1个公共点，
当m＞

e2

4

时，有2个公共点．
（Ⅲ）设

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x，x＞0，则g'（x）=1+（1+x-2）e^x=1+（x-1）e^x，
函数g'（x）的导函数[g'（x）]'=（1+x-1）e^x=xe^x＞0，
所以g'（x）在（0，+∞）上单调递增，且g'（0）=0，
因此g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（0）=0，
所以在（0，+∞）上，g（x）＞0，
因为当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）e^x＞0，且a＜b，
所以

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea＞0，
即当a＜b，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，以及利用导数证明不等式，综合性较强，运算量较大．