Question

如图，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2

OD

=

OF

+

OP

（O为原点）且

AB

=λ

AD

(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?

CM

•

CN

为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据条求出A，B，P三点的坐标，结合2

OD

=

OF

+

OP

求出D的坐标，再根据

AB

=λ

AD

(λ≠0)即可求出a和b之间的关系，进而求出曲线的离心率；
（2）先假设存在定点C（0，n）使C

M

•C

N

为常数u，设MN的方程为y=kx-1；联立直线方程与双曲线方程求出M，N的坐标与k之间的关系以及k所满足的范围；再求出

CM

•

CN

的值结合

CM

•

CN

为常数即可得出结论．

解答：解：（1）由题得B（0，-b），A（

a2

c

，0)易得P(c，

b2

a

)，P（c，

b 2

a

）
∵2O

D

=O

F

+O

P

∴D为线段FP的中点  （1分）
∴D（c，

b2

2a

)，又A

B

=λA

D

，
∵

AB

=λ

AD

(λ≠0)
即A、B、D共线（2分）
∴而A

B

=(-

a2

c

，-b)，A

D

=(c-

a2

c

，

b2

2a

)?，
?∴-

a2

c

•

b2

2a

-(-b)•(c-

a2

c

)=0得a=2b
∴e=

c

a

=

1+( b a

)2=

1+ 1 4

=

5

2

（4分）?
（2）∵a=2而e=

5

2

∴b2=1
∴双曲线方程为

x2

4

-y2=1①（5分）
∴B（0，-1）
假设存在定点C（0，n）使C

M

•C

N

为常数u，设MN的方程为y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由题意得

1-4k2≠0 △=64k2+32(1-4k2)＞0

得k2＜

1

2

且k2≠

1

4

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

8k

4k2-1

，x1x2=

8

4k2-1

?（8分）
而C

M

•C

N

=(x1，y1-n)•(x2，y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=

8(1+k2)

4k2-1

-

8k2(n+1)

4k2-1

+(n+1)2=u?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0     （10分）
对满足k2?

1

2

且k2≠

1

4

的k恒成立，
∴

4(n+1)2-8n-4u=0 8-(n+1)2+u=0

解得n=4，u=17
故存在y轴上的定点C（0，4），使C

M

•C

N

为常数17    （14分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．