Question

（2013•天津一模）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆长轴长是短轴长的两倍设出椭圆的方程，把点C的坐标代入椭圆方程可求解b，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设出P点的坐标，写出直线CP和DP的斜率，由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式，代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值；
（Ⅲ）由直线l平行于CD，设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后求出弦MN的长度，由点到直线的距离公式求出C到MN的距离，代入面积公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面积最大时的直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．
设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
椭圆E过点C（2，1），
代入椭圆方程得

22

4b2

+

1

b2

=1，解得b=

2

，则a=2

2

，
所以所求椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
设P（x，y），则kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，
kCP•kDP=

y-1

x-2

•

y+1

x+2

=

y2-1

x2-4

①
又∵点P在椭圆E上，
∴

x2

8

+

y2

2

=1，∴x²=8-4y²，代入①得，
kCP•kDP=

y2-1

x2-4

=

y2-1

8-4y2-4

=-

1

4

．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之积为定值-

1

4

（Ⅲ）CD的斜率为

1

2

，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为y=

1

2

x+t．
由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

△=4t2-4(2t2-4)=4(4-t2)＞0 x1+x2=-2t x1•x2=2t2-4

，得|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+( 1 2 )2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 4

•

4t2-4(2t2-4)

=

5

•

4-t2

(-2＜t＜2)．
d=

|t|

1+ 1 4

=

2|t|

5

．
所以，S=

1

2

|MN|•d=

1

2

5

4-t2

•

2|t|

5

=|t|•

4-t2

=

t2(4-t2)

≤

4

2

=2
当且仅当t²=4-t²时取等号，即t²=2时取等号
所以△MNC面积的最大值为2．
此时直线l的方程y=

1

2

x±

2

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用弦长公式求弦长，考查了利用基本不等式求最值，是有一定难度题目．