Question

（本题满分14分） 如图，垂直平面，，，点在上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】解：（Ⅰ）过E点作EFAB与点F，连AF，于是EF//DC

所以EFABC，又BCABC，所以EFBC；

又，AC=1/2BC，所以 ，所以，

，所以

，所以与相似，所以，即AFBC；又AFEF=F，于是BCAEF，又AEAFE，

所以BCAE.                            ……6′

（2）解法一（空间向量法）

如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是，，

，设平面ABE的法向量为，，于是，令Z₁=1，得，得.

设平面ACE的法向量为,

，于是，令Z₂=1，得，得.

……8′

思路分析：第一问中利用线面垂直 的判定定理和性质定理求证即可。

第二问中，如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是，，建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量的夹角得到k的值。