Question

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值；

(3)设二面角A-PC-B的大小为θ,求tanθ的值.

Answer 1

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝a，∴CD=a.

又∵AD=2a,AC=a,∴AC²+CD²=AD².

∴CD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.

∴CD⊥平面PAC.

又∵CD平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)解:如图所示，连结AC、BD相交于点O，

则O为AC的中点.取PA的中点E，连结OE，则OE∥PC.故∠BOE(或补角)为异面直线PC与BD所成的角.

连结BE，在△BOE中，

OE=PC=a,

BE==a,

OB==a.

由余弦定理，得cos∠BOE=.

(3)解:∵AB∥CD,CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC.

过A作AG⊥PC，垂足为G，连结BG，由三垂线定理知，BG⊥PC，故∠AGB为二面角A-PC-B的平面角，即∠AGB=θ.

在Rt△PAC中，由面积关系，得AG=a.

在Rt△BAG中，tan∠AGB=.