Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点．

(Ⅰ)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

(Ⅱ)求证：MN⊥平面PCD；

(Ⅲ)当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD 　　故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 　　在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝ 　　(2)取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点， 　　∴ENCDAB∴AMNE是平行四边形， 　　∴MN∥AE 　　在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线， 　　∴AE⊥PD． 　　又CD⊥AD，CD⊥PD∴CD⊥平面PAD 　　∴CD⊥AE， 　　又PDCD＝D，∴AE⊥平面PCD． 　　∴MN⊥平面PCD 　　(3)∵AD∥BC 　　所以∠PCB为异面直线PC， 　　AD所成的角． 　　由三垂线定理知PB⊥BC，设AB＝x(x＞0)． 　　则tan∠PCB＝