Question

设MN是双曲线的弦，且MN与x轴垂直，A₁、A₂是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足（O为坐标原点，λ，μ∈R）
求证：为定值，并求出这个定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A₁、A₂是双曲线的左、右顶点，∴A₁（-2，0）A₂（2，0）
∵MN是双曲线的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀）
则直线MA₁和NA₂的方程分别为y=（x+2），y=（x-2）
联立两方程，解x₀，y₀，得 ，∵M（x₀，y₀）在双曲线上，代入双曲线方程，得
，即直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程为
（Ⅱ）联立得7x²-8x-8=0
由韦达定理得
A，B，P三点在上，
知3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∵，∴P点坐标为（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²，λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）
∴3（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²）+4（λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）=12
又
∴
∴为定值，且定制为1．
分析：（Ⅰ）利用交轨法来求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A₁、A₂点的坐标，设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），求出直线MA₁和NA₂的方程，联立方程，方程组的解为直线MA₁和NA₂交点的坐标，再把M点坐标（x₀，y₀）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹C的方程．
（Ⅱ）联立直线y=x-1与轨迹C方程，解出A，B点横坐标之和与之积，因为P，A，B三点都在椭圆上，所以都满足椭圆方成，再根据，得到三点坐标满足的关系式，把P点坐标用A，B坐标表示，代入椭圆方程，根据前面求出的x₁+x₂，x₁x₂的值，化简，即可得到的值，为定植．
点评：本题主要考查了交轨法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线相交问题，注意韦达定理的应用．