Question

已知椭圆两焦点F₁、F₂在y轴上，短轴长为2

2

，离心率为

2

2

，P是椭圆在第一象限弧上一点，且

PF1

•

PF2

=1，过P作关于直线F₁P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b，进而根据离心率和a，b和c的关系求得a和c，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P的坐标，分别表示出

PF 1

和

PF 2

，进而根据

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的关系式，把点P的坐标代入椭圆方程求和另一个关系式，联立方程求得x₀和y₀即P的坐标．
（2）根据（1）可知PF₁∥x轴，设PB的斜率为k，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y，设出B的坐标，根据题意可求得x_B的表达式，同理求得x_A的表达式，进而可知x_A-x_B的表达式，根据直线方程求得y_A-y_B，进而根据斜率公式求得直线AB的斜率，结果为定值．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可得b=

2

，

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，
∵a²-c²=2
∴c=

2

，a=2
∴椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1
∴焦点坐标为（0，

2

），（0，-

2

），设p（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）
则

PF1

=（-x₀，

2

-y₀），

PF2

=（-x₀，-

2

-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=x₀²-（2-y₀²）=1
∵点P在曲线上，则

y02

4

+

x02

2

=1
∴x₀²=

4- y 2 0

2

，
从而

4- y 2 0

2

-（2-y₀²）=1，得y₀=

2

，则点P的坐标为（1，

2

）

（2）由（1）知PF₁∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为k（k＞0），
则PB的直线方程为y-

2

=k（x-1），由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得
（2+k²）x²+2k（

2

-k）x+（

2

-k²）-4=0
设B（x_B，y_B），则x_B=

2k(k- 2)

2+k2

-1=

k2 -2 2 k-2

2+k2

，
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，则xA-xB=

4 2 k

2+k2

，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

所以AB的斜率k_AB=

yA-yB

xA-xB

=

2

为定值．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．