Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（1）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
（2）求（1）中的点N到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系A-BDP，求出A、B、C、D、P、E的坐标，设出

NE

=（-x，

1

2

，1-z），利用

NE • AP =0 NE • AC =0

，求出点N的坐标为（

3

6

，0，1），即可得到N到AB、AP的距离分别为1．
（2）设N到平面PAC的距离为d，通过d=

| NA • NE |

| NE |

直接求解即可．

解答：解：（1）建立空间直角坐标系A-BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A（0，0，0）、B（

3

，0，0）、C（

3

，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，

1

2

，1），依题设N（x，0，z），则

NE

=（-x，

1

2

，1-z），由于NE⊥平面PAC，
∴

NE • AP =0 NE • AC =0

即

(-x， 1 2 ，1-z)•(0，0，2)=0 (-x， 1 2 ，1-z)•( 3 ，1，0)=0

⇒

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

⇒

x= 3 6 z=1

，
即点N的坐标为（

3

6

，0，1），
从而N到AB、AP的距离分别为1．
（2）设N到平面PAC的距离为d，则d=

| NA • NE |

| NE |

=

|( 3 6 ，0，1)•(- 3 6 ， 1 2 ，0)|

|(- 3 6 ， 1 2 ，0)|

=

1

12

×

3

=

3

12

．

点评：本题考查空间几何体的两点间的距离的求法，点到平面的距离公式的应用，考查计算能力．