Question

【题目】已知

(1)求的单调区间;

(2)设，为函数的两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；

（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.

详解：（1）∵，∴

当时，∴，

即的单调递增区间为，无减区间；

当时，∴，

由，得，

时，，

时，，

∴时，易知的单调递增区间为，

单调递减区间为，

（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，

不妨设，由条件知，即

构造函数，与图象两交点的横坐标为

由可得

而，∴

知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

可知

欲证，只需证，即证，

考虑到在上递增，只需证

由知，只需证

令 ，

则

，

所以为增函数，又，

结合知，即成立，

即成立.