Question

【题目】已知，是椭圆的左右焦点，椭圆与轴正半轴交于点，直线的斜率为，且到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆上任意一点，过，分别作直线，，且与相交于轴上方一点，当时，求，两点间距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设出的方程，根据其斜率以及点到直线的距离，即可列出方程，求得结果；

（2）根据题意，得到，从而求得点的轨迹方程，将问题转化为求一点到圆上任意一点距离的最大值，则问题得解.

解：（1）由题意，可知，，．

∴①．

∵直线的方程为，即．

∴由题意有②．

又③．

由①②③得，，．

∴椭圆的方程为．

（2）由（1）可知：，．

设，且．

则当，都不垂直于轴时，，．

∵，

∴．

∴．

化简，得．

当或垂直于轴时，得，也满足上式．

∴点的轨迹方程为．

∴当与圆心距离最大时，，两点间距离取得最大值．

∵

．

又∵，

∴．

∴，两点间距离的最大值为．