Question

A地某单位用三辆客车送职工去B地旅游，从A地到B地有高速公路和一级公路各一条，已知客车走一级公路堵车的概率为

1

4

；若1号、2号两辆客车走一级公路，3号公路走高速公路，且在辆客车是否被堵车相互之间无影响，若三辆客车中恰有一辆被堵车的概率为

12

32

．
（I）求客车走高速公路被堵车的概率；
（II）求三辆客车中被堵车辆的辆数ξ的数学期望和方差．

Answer 1

分析：（I）客车走一级公路堵车的概率为

1

4

，不堵车的概率为

3

4

，设客车走高速公路堵车的概率是p，不堵车的概率是1-p，由题设知

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，从而得到客车走高速公路被堵车的概率．
（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，p（ξ=0）=

15

32

，p（ξ=1）=

13

32

，p（ξ=2）=

11

96

，p（ξ=3）=

1

96

，由此能够求出三辆客车中被堵车辆的辆数ξ的数学期望和方差．

解答：解：（I）客车走一级公路堵车的概率为

1

4

，不堵车的概率为

3

4

，
设客车走高速公路堵车的概率是p，不堵车的概率是1-p，
∴

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，
解得p=

1

6

．
（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，
p（ξ=0）=

3

4

×

3

4

×

5

6

=

15

32

，
p（ξ=1）=

C

1 2

×

1

4

×

3

4

(1-p)+(

3

4

)2×p=

13

32

，
p（ξ=2）=

11

96

，
p（ξ=3）=

1

4

×

1

4

×

1

6

=

1

96

，

∴Eξ=0×

15

32

+1×

13

32

+2×

11

296

+3×

1

96

=

2

3

，
Dξ=(0-

2

3

)2×

15

32

+(1-

2

3

)2×

13

32

+(2-

2

3

)2×

11

96

+(3-

2

3

)2×

1

96

=

37

72

．

点评：本题n次独立重复试验恰好发生k次的概率，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．