Question

【题目】（文科）已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ; (2) .

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算,根据点斜式可求切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最大值，结合对任意恒成立，求出的取值范围即可.

试题解析：(1)由，得，则

又， .

所以曲线在点处的切线方程为，即.

(2)已知对任意恒成立，

令

①当时，

， 在上单调递减，

，恒成立.

②当时，二次函数的开口方向向下，对称轴为，且，

所以当时， ， ， 在上单调递减，

，恒成立.

③当时，二次函数的开口方向向上，对称轴为，

所以在上单调递增，且，

故存在唯一，使得，即.

当时， ， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增.

所以在上， .

所以得，

综上,得取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得的范围的.