Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

(1)求异面直线B₁C₁与AC所成角的大小；

(2)若该直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为，求点A到平面A₁BC的距离．

 

Answer 1

【答案】

（1）45°；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求异面直线所成的角，关键是作出这两条直线所成的角，作法是利用平移思想（即作平行线），当然我们要充分利用图中已有的平行关系作图，如本题中有∥,就不需要另外作平行线了，还要注意的是异面直线所成的角不大于90°；（2）求点到平面的距离，一般要作出垂线段，求垂线段的长，即过点作平面的垂线，首先观察寻找原有图形中的垂直关系，发现可证平面⊥平面，因此我们只要在平面内作,垂足为，则可证为所要求的垂线段，其长即为要求的距离.另外由于点，平面所在的三棱锥的体积很容易求得，故也可用体积法求解.

试题解析：（1）∵BC∥B₁C₁，

∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角（或它的补角），（2分）

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，

∴∠ACB=45°，

∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°．（4分）

（2）∵，三棱柱的体积.

∴,（2分）

∵⊥平面₁，∴，,

设点A到平面A₁BC的距离为h，（4分）

三棱锥A₁-ABC的体积V==三棱锥A-A₁BC的体积V=,（6分）

∴.（8分）

考点：（1）异面直线所成的角；（2）点到平面的距离．