Question

如图，若A₁B₁C₁—ABC是正三棱柱，D是AC的中点.

（1）证明AB₁∥平面DBC₁；

（2）假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数.

Answer 1

（1）证明：连结B₁C、DC₁、DB、BC₁，并设B₁C∩BC₁=E，连结DE.

∵ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱，

则B₁BCC₁为矩形，∴E为B₁C的中点.

又D为AC的中点，

∴DEAB₁，DE平面DBC₁.

∴AB₁∥平面DBC₁.

（2）解析：∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，作AG⊥BC于G，则AG⊥平面 BCC₁B₁，DF⊥BC于F，则DF⊥平面BCC₁B₁，且DF=AG.

∵AB₁⊥BC₁，AB₁∥DE，

∴DE⊥BC₁，DF⊥平面BCC₁.

∴EF⊥BC₁.

∴∠DEF为二面角DBC₁C的平面角.

在△ABC中，设边长为a.

EG⊥BF，EF²=FG·FB，EF=a，DF=AG=a，

∴∠DEF=45°.