Question

设x∈（0，1），幂函数y=x^α的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：可对幂函数的指数的情况进行讨论，分为指数为负数，指数大于1，指数小于1大于0进行讨论，找出符合条件的α的取值范围

解答：解：由幂函数的性质知：
当α＜0时，幂函数y=x^α的图象是下降的，故在x∈（0，1），幂函数y=x^α的图象在直线y=x的上方符合题意
当α=0时，幂函数y=x^α的图象在x∈（0，1）上是一个与y轴平行的线段，是直线y=1的一部分，故其图象在y=x的上方，符合题意
当α∈（0，1）时，由底数x∈（0，1），幂函数y=x^α的图象在y=x的上方，符合题意
当α＞1时，由底数x∈（0，1），幂函数y=x^α的图象在y=x的下方，不符合题意符合题意
综上，符合条件的α的取值范围是（-∞，1）
故答案为（-∞，1）

点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是对幂函数的图象变化趋势即幂函数的单调性与幂指数的取值范围的关系比较熟悉，本题考查了分类讨论的思想，解题时遇到了不确定的情况往往要分类别进行讨论，变不确定为确定．