Question

已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.

（1）求双曲线S的方程；

（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；

（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由已知可得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，A′（0，）． 双曲线S的方程为＝1 （2）设B（x，）是双曲线S到直线l：y＝x－的距离为的点，由点到直线距离公式有． 解得x＝，y＝2，即B（，2） （3）当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以B在直线l的上方，设直线l′与直线l：y＝k（x－）平行，两线间的距离为，且直线l′在直线l的上方，双曲线S的上支上有且仅有一个点B到直线l的距离为，等价于直线l′与双曲线S的上支有且只有一个公共点. 设l′的方程为y=kx+m 由l上的点A到l′的距离为， 可知． 解得m＝（k）． 因为直线l′在直线l的上方，所以M＝（k）． 由方程组 消去y，得（k2－1）x2＋2mkx＋m2－2＝0， 因为k2≠1，所以 Δ＝4m2k2－4（k2－1）（m2－2）＝4（－2＋2k2）＝8k（3k－2）． 令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝． 当k=0时，m=，解得x=0，y=． 此时点B的坐标为（0，）； 当k＝时，M＝，解得x＝2，y＝．此时点B的坐标为（2，）.