Question

已知f(x)=|sinkx|+|coskx|(k∈N^*)

(1)求这个函数的最小正周期;

(2)试求f(x)的最大值和最小值；

(3)试求最小正整数k,使当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个最大值，一个最小值.

Answer 1

思路分析：求f(x)这一非常规函数的周期，可以先找再证，而对函数的最大值及其他性质只需在一个周期内研究.

解：（1）显然,,都是这个函数的周期，现证明是这个函数的最小正周期，设0＜T＜是这个函数的周期，则有

|sink(x+T)|+|cosk(x+T)|=|sinkx|+|coskx|对任意x∈R都成立，令x=0,有|sinkT|+|coskT|=1,

∵0＜T＜,

∴sinkT+coskT=1,

即sin(kT+)=1，①

又＜kT+＜π，

∴＜sin(kT+)＜1，

∴1＜sin(kT+)＜.②

①与②矛盾，因此为最小正周期.

（2）当0≤x＜时，f(x)=|sinkx|+|coskx|=sinkx+coskx=sin(kx+),故x=0时，

f(x)_min=1,x=时，f(x)_max=.

(3)要使f(x)取得最大和最小值，x的变化范围至少包含一个周期，而任意两个整数至少相离1个单位，故≤1,k≥,故k=2为符合条件的最小正整数.