Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），再根据已知的切线方程，求出切线的斜率和切点的纵坐标，再列出方程求出a、b的值，代入解析式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f′（x），求出f′（x）≥0的解集，即函数的增区间，再由条件列出等价方程，求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
∵函数f(x)=

ax

x2+b

在（-1，f（-1））处切线为y=-2，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=-2.

，即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2.

解得

a=4 b=1.

∴f(x)=

4x

1+x2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，
由f′（x）≥0得，-1≤x≤1，即f（x）的单调增区间是[-1，1]．
∵f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
∴

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1.

，解得-1＜m≤0．
∴当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，切点在曲线上和切线上的应用，以及导数与函数单调性的关系，属于中档题．