Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程标准方程，根据离心率可求得a和c的关系，根据椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8，求得a，则c可求得，进而根据b²=a²-c²求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当直线l与x轴垂直时，显然以A，B为直径的圆不过椭圆C的右顶点，故直线l与x轴不垂直；设出直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，进而根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据直线方程求得y₁y₂的表达式，以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（2，0），进而可知直线AD和BD的斜率之积为-1，进而用A，B的坐标分别表示出这两直线的斜率，建立等式求得k，最后验证求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由题意得：

c

a

=

1

2

，4a=8
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，A，B分别为椭圆短轴的两端点，
显然以A，B为直径的圆不过椭圆C的右顶点，故直线l与x轴不垂直
设直线l的方程为y=kx-2
则由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx-2

得（3+4k²）x²-16kx+4=0
由△＞0得k＞

1

2

或k＜-

1

2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

∴y1y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=

12-12k2

3+4k2

因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（2，0），
∴K_ADK_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

12-12k2

3+4k2

+

4

3+4k2

-

32k

3+4k2

+4=0，即k²-8k+7=0，
解得k₁=1，k₂=7
当k=1时，直线l过椭圆右顶点（2，0），不合题意，
所以k=7，故直线l的方程是y=7x-2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，