Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1,求函数的单调区间；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出，由,∴，令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）时，恒成立等价于恒成立，讨论、，两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，解不等式即可的结果.

试题解析：（1）∵ ,∴,∴，

∴ ,记，∴,

当时，,单减；

当时，, 单增，

∴,

故恒成立，所以在上单调递增

（2）∵，令,∴，

当时，,∴在上单增，∴.

ⅰ）当即时，恒成立，即，∴在上单增，

∴，，所以．

ⅱ）当即时，∵在上单增，且，

当 时，，

∴使,即.

当时，，即单减；

当时，，即单增．

∴ ，

∴，，由，∴．

记,

∴，∴在上单调递增，

∴，∴．

综上.