Question

（2013•兰州一模）选修4-5：《不等式选讲》
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析：（I）分当x≤2时、当2＜x＜5时、当x≥5 时三种情况，分别化简函数f（x）的解析式，求出函数f（x）的值域，可得-3≤f（x）≤3成立．
（II）分当x≤2时、当2＜x＜5时、当x≥5时三种情况，分别解出不等式f（x））≥x²-8x-8x+15的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（I）证明：当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；
当x≥5 时，f（x）=x-2-（x-5）=3．
所以-3≤f（x）≤3．…（5分）
（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x²-8x-8x+15，等价于-3≥x²-8x+15，
等价于（x-4）²+2≤0，解集为∅．
当2＜x＜5时，f（x）≥x²-8x-8x+15，等价于2x-7≥x²-8x-8x+15，即 x²-10x+22≤0，
解得 5-

3

≤x≤5+

3

，故不等式的解集为{x|5-

3

≤x＜5}．
当x≥5时，f（x）≥x²-8x+15，等价于x²-8x+12≤0，解得2≤x≤6，
∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}．
综上，不等式的解集为{x|5-

3

≤x≤6}．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．