Question

【题目】已知，，其中常数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数的范围；

（3）设，在区间内是否存在区间，使函数在区间的值域也是？请给出结论，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极小值0，没有极大值；（2）；（3）不存在区间符合要求，理由见解析.

【解析】

（1）求出导函数，利用导数研究函数的单调性，求出极值；

（2）求出导函数，利用导数研究函数的单调性，极值，得到有两个零点的条件，求出的范围；

（3）先根据导数判断在单调递增，将在区间的值域也是，转化为有两个大于的不等实根解决问题.

函数的定义域为，

（1）当时，，，

而在上单调递增，又，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值．

（2）令， ，因为，所以

		0
	增		减

因为有两个零点，所以，所以

当时因为，，所以有两个零点.

(3)，假设在区间内是存在区间，使函数在区间的值域也是，因为，当时

所以在上是增函数，所以，即

即方程有两个大于的不等实根.上述方程等价于

设，所以

所以在上是增函数，所以上至多一个实数根.

即上不可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间符合要求.