Question

定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=

2x-1(0≤x≤1) 1 x (x≥1)

，g（x）=log₂x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[-2，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  2

  ，2]
• C、[-

  1

  2

  ，0）∪（0，

  1

  2

  ]
• D、（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先求x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，再由f（x）是定义在R上的奇函数，求出x≤0时f（x）的值域为[-1，0]，
从而得到在R上的函数f（x）的值域为[-1，1]．由g（x）为偶函数，求出g（x）的表达式，由条件可令-1≤
log₂|b|≤1．解出即可．

解答：解：∵f（x）=

2x-1(0≤x≤1) 1 x (x≥1)

，
∴当0≤x≤1时，2^x-1∈[0，1]，
当x≥1时，

1

x

∈（0，1]，
即x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴x≤0时f（x）的值域为[-1，0]，
∴在R上的函数f（x）的值域为[-1，1]．
∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x），x＞0的g（x）=log₂x，
∴g（x）=log₂|x|（x≠0）
∵存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，
∴令-1≤g（b）≤1．
即-1≤log₂|b|≤1．
即有

1

2

≤|b|≤2，
∴

1

2

≤b≤2或-2≤b≤-

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值域，注意各段的情况，考查函数的奇偶性及应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．