Question

（2008•湖北模拟）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，右准线方程为x=

3 2

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（t＞0）与以F₁F₂为直径的圆相切，并与椭圆C交于A，B两点，向量

AB

| AB |

在向量

F1F

2方向上的投影是p，且(

OA

•

OB

)p2=m（O为坐标原点），求m与k的关系式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，当m∈[

1

4

，

1

2

]时，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先利用离心率条件求出a，c的关系式，再利用右准线方程得到a，c的另一个关系式结合a，b，c的关系即可求得a，b．最后写出椭圆的方程即可；
（II）先圆心到直线的距离等于半径可得t和k满足的关系式，把直线l的方程与椭圆方程联立求出A、B两点的坐标，再利用 (

OA

•

OB

)p2=m即可求出m与k的关系式；
（III）用类似于（2）的方法求出m，k之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）由条件知：

c

a

=

6

3

，

a2

c

=

3 2

2

及c2=a2-b2．
得a=

3

，c=

2

．b=1．
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）依条件有：

|t|

1+k2

=

2

，即t²=2（1+k²）．（4分）
由

y=kx+t x2 3 +y2=1

得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0．△=12（k²-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-6kt

3k2+1

，x1•x2=

3t2-3

3k2+1

•
又t²=2k²+1，∴

OA

•

OB

=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=

5(k2+1)

3k2+1

•
由

AB

| AB |

在

F1F2

方向上的投影是p，得P2=cos2＜

AB

，

F1F2

＞=

1

1+k2

•（7分）∴m=(

OA

•

OB

)p2=

5

3k2+1

•（10分）
（Ⅲ）由弦长公式得|AB|=

1+k2

△

3k2+1

=

2 3 k4-1

3k2+1

．
由

5

3k2+1

=m，得k2=

5-m

3m

•∴|AB|=

2 3

15

-8m-10m+25．

（12分）∴S△AOB=

1

2

|AB|•

2

=

6

15

-8m2-10m+25

=

6

15

-8(m+ 5 8 )2+ 225 8

．
又m∈[

1

4

，

1

2

]，∴S△AOB∈[

- 3

5

，

2 33

15

]．（14分）

点评：本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．