Question

规定=，其中是正整数，且=1，这是组合数 (是正整数，且)的一种推广．
(1)求的值；
(2)设，当为何值时，取得最小值?
(3)组合数的两个性质：①=； ②+=
是否都能推广到 (是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

(1)．
(2)当时，取得最小值．
(3)性质①不能推广．例如当时，有意义，但无意义；
性质②能推广，其推广形式是：，是正整数，

解析试题分析：(1)．  4分
(2)
∵当且仅当时，取等号
∴当时，取得最小值．  8分
(3)性质①不能推广．例如当时，有意义，但无意义；
性质②能推广，其推广形式是：，是正整数，12分
事实上，当时，有，
当时，

=
=．  15分
考点：本题主要考查组合数的性质及其应用，归纳推理，均值定理的应用。
点评：中档题，本题由3道小题组成，前两小题解题思路明确，利用组合数公式及其性质变形、计算，其中（2）在得到函数表达式的基础上，灵活运用均值定理求最值，具有一般性。（3）利用归纳推理，作出判断，利用组合数公式及其性质进行了证明，对复杂式子变形能力要求高。