Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

Answer 1

【答案】分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；
（2）将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC₁交AA₁于M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，求出DC₁和的值即可；
（3）连接DB，C₁B，可证∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．
解答：解：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为．

（II）如图，将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC₁交AA₁于M，则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，其长为∵△DMA≌△C₁MA₁，∴AM=A₁M
故

（III）连接DB，C₁B，
则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂线定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
∵侧面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．