Question

【题目】如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．

（1）求椭圆C的方程；
（2）求 的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR||OS|为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，得a=2， ，

∴c= ，b= =1，

故椭圆C的方程为

（2）解：方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以 ． （*）

由已知T（﹣2，0），则 ， ，

∴

=（x1+2）2﹣

=

= ．

由于﹣2＜x1＜2，

故当 时， 取得最小值为 ．

由（*）式， ，故 ，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到 ．

故圆T的方程为： ．

方法二：点M与点N关于x轴对称，

故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），

则

=（2cosθ+2）2﹣sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

= ．

故当 时， 取得最小值为 ，

此时 ，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到 ．

故圆T的方程为： ．

（3）解：方法一：设P（x0，y0），

则直线MP的方程为： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 （**）

又点M与点P在椭圆上，

故 ， ，

代入（**）式，

得： ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

则直线MP的方程为： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值

【解析】（1）依题意，得a=2， ，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故 ．由T（﹣2，0），知 = ，由此能求出圆T的方程．
法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得 = ，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0 ， y0），则直线MP的方程为： ，令y=0，得 ，同理： ，…故 ，由此能够证明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．
法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为： ，由此能够证明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．
【考点精析】掌握圆的标准方程和椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．