Question

已知椭圆的离心率，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆D经过坐标原点．证明：圆D的半径为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的离心率，可得a²=4b²，利用椭圆过点，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，从而可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，可求原点O到直线的距离，由此可知圆D的半径为定值．
解答：（1）解：∵椭圆的离心率
∴，∴a²=4b²
∴椭圆C的方程为
∵椭圆过点
∴
∴b²=1，a²=4
∴椭圆C的标准方程为
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原点O到直线的距离为
②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原点O到直线的距离为
综上知，圆D的半径为定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，正确运用椭圆的性质是解题的关键．