Question

 如图，已知点，且的内切圆方程为.

（1）   求经过三点的椭圆标准方程；

（2）   过椭圆上的点作圆的切线，求切线长最短时的点的坐标和切线长。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，------------------1分

依题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB：y=k（x+4）         ------------------2分

因圆的圆心为（2，0），半径，又因为直线AB与圆相切

所以，圆心为（2，0）到直线AB的距离为------------------3分

解得（为直线AC的斜率）

所以直线AB的方程为，------------------4分

又因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，所以B点横坐标为，

把代入直线AB的方程解得，------------------5分

把A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得m=16，n=分

所以椭圆的标准方程为.------------------7分

(Ⅱ)设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为 -8分

切线长，，--10分

当时，，                 ------------------12分

此时，从而点的坐标为           ------------------14分

解法二：(Ⅰ)因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，且的内切圆方程为，

所以B点横坐标为， -----------------1分

如图，由三角形内切圆的性质知∽

∴即，从而------------------3分

当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，=1 ，

∴椭圆的标准方程为--5分

当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，=与矛盾----------6分

综上所述，所求椭圆的标准方程为.------------------7分

(Ⅱ) 依题意设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为   ------8分

则切线长，而，---------10分

当时，，-----12分

此时，从而点的坐标为 -----14分