Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）
（1）若f（1）＜0，求a的取值范围；
（2）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

∵f（1）＜0，

∴a﹣ ＜0，

又a＞0，且a≠1，

∴0＜a＜1

（2）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，

∴a=2或a=﹣ （舍去）

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

则f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，

∵x≥1，

∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ）

若m≥ ，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2

若m＜ ，当t= 时，h（t）min= ﹣3m=﹣2，解得m= ＞ ，舍去

综上可知m=2

【解析】（1）根据f（1）＜0，解不等式可得a的取值范围．（2）根据f（1）= 确定a=2的值，从而可得函数g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x ， 由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，可得t≥f（1）= ，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2　（t≥ ），分类讨论，利用最小值为﹣2，可求m的值
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和指、对数不等式的解法的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化才能正确解答此题．