Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π。

（Ⅰ）求证：AF⊥BD；

（Ⅱ）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以 AD⊥BE。

又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE。                                 （3分）

因为AF平面ADE，所以BE⊥AF。

又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD。                                 （6分）

（Ⅱ）过点E作EO⊥AB，垂足为O。

因为平面ABE⊥平面ABCD，所以EO⊥面ABCD。

连结OD，则∠ODE为直线DE与平面ABCD所成的角。                           （8分）

设圆柱的底半径为r，则其底面积为，

△ABE的面积为。

由已知，，则OE＝r，所以点O为圆柱底面圆的圆心。                  （10分）

在Rt△OAD中，，在Rt△DOE中  。

故直线DE与平面ABCD所成角的正切值为。                                 （12分）