Question

（2009•越秀区模拟）已知{a_n}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n}满足等式：an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）通过数列前9项和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比数列．列出方程组，求出数列的首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

，写出n+1的表达式，求出b_n的通项公式，判断数列是等比数列，然后求出前n项和T_n．

解答：解：（1）设a_n=a₁+（n-1）d   d≠0，则

9a1+ 9×8 2 d=90 (a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2

即

a1+4d=10 a1=d

，解得a₁=2，d=2．
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）解：由（1）得，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

=2n ①，
当n≥2时，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn-1

3n-1

=2(n-1) ②，
由①-②得，

bn

3n

=2，所以b_n=2•3ⁿ．n≥2．
当n=1时，b₁=3a₁=6也适合上式，所以b_n=2•3ⁿ．n为正整数．
因为

bn+1

bn

=

2•3n+1

2•3n

=3，所以{b_n}是首项为b₁=6，公比为3的等比数列，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=

6(1-3n)

1-3

=3ⁿ⁺¹-3．

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列是等比数列的判断，数列前n项和的求法，考查计算能力，注意验证数列的首项是否满足题意．