Question

如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

Answer 1

分析：（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=

|AC|•|BD|

2

，由于|AC|=d为定长，当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，由此能求出四边形ABCD面积的最大值．
（2）由题意，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，由此能求出四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大；类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大；以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”

解答：解：（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=

|AC|•|BD|

2

，
而由于|AC|=d为定长，
则当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，
故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr．
（2）由题意，不难发现，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），平行弦MN的方程为y=kx+m，
联立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0?（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则|MN|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

( -2kma2 b2+a2k2 )2-4 m2a2-a2b2 b2+a2k2

=

1+k2

b2+a2k2

•

4k2m2a4-4(m2a2-a2b2)(b2+a2k2)

=

1+k2

b2+a2k2

•

4a2b2(a2k2+b2-m2)

由于平行弦的斜率k保持不变，故可知当且仅当m=0时，即当直线经过原点时，
|MN|取得最大值|MN|=2ab

1+k2

b2+a2k2

（*）．特别地，当斜率不存在时，此结论也成立．
由以上结论可知，类比猜想一正确．又对于椭圆内任意一点P构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心O重合的椭圆内接四边形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有SABCD≤SA1B1C1D1．即证明了猜想二也是正确的．
类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．
要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”在此基础上，可参考以下两种续证方法．
证法一：当点P在椭圆中心时，不妨设对角线AC所在直线的斜率为k．
（i）当k=0时，AC即为椭圆长轴，又AC⊥BD，故BD是椭圆的短轴．
所以此时椭圆内接四边形ABCD的面积为S_ABCD=2ab．
（ii）当k≠0时，对角线BD的斜率为-

1

k

．由此前证明过程中的（*）可知，|AC|=2ab

1+k2

b2+a2k2

，
若将-

1

k

代换式中的k，则可得弦BD的长度，|BD|=2ab

1+ 1 k2

b2+ a2 k2

=2ab

1+k2

b2k2+a2

．
所以，SABCD=

1

2

|AC||BD|=2a2b2

1+k2

(b2+a2k2)(b2k2+a2)

=

2a2b2(k2+1)

[a2(k2+1)-(a2-b2)][b2(k2+1)+(a2-b2)]

=

2a2b2

(a2- a2-b2 k2+1 )(b2+ a2-b2 k2+1 )

=

2a2b2

a2b2+(a2-b2)2[ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2 ]

=

2a2b2

a2b2-(a2-b2)2[( 1 k2+1 - 1 2 )2- 1 4 ]

由k²+1＞1?0＜

1

k2+1

＜1?(

1

k2+1

-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，0)，
则SABCD=

2a2b2

a2b2-c4[( 1 k2+1 - 1 2 )2- 1 4 ]

＜

2a2b2

a2b2

=2ab，
综上（i）和（ii），故可证明猜想三正确．
证法二：如图，四边形对角线交点P与椭圆中心重合．

由对称性，不妨设椭圆上的点A的坐标为（acosα，bsinα），α∈[0，

π

2

)；
相邻的点B坐标为（acosβ，bsinβ），β∈[

π

2

，π)．由对称性可知，SABCD=4S△APB=2|

.

1 0 0 1 acosα bsinα 1 acosβ bsinβ

.

|=2ab|sin(α-β)|
且当β-α=

π

2

时，S_ABCD取得最大值2ab．
又因为OA⊥OB，故

OA

•

OB

=a2cosαcosβ+b2sinαsinβ=0．
由β-α=

π

2

?β=α+

π

2

，
所以

OA

•

OB

=-a2cosαsinα+b2sinαcosα=

1

2

sin2α(b2-a2)=0
故只有当sin2α=0时才满足，
而因为α∈[0，

π

2

)，
故只有当α=0时成立．即由椭圆参数方程的定义，当且仅当点A和点B分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时，猜想3正确．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行类比猜想．