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    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
    |CD|
    |ST|
    =2
    		6
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
    PE
    •
    PF
    的最大值．
    分析：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，|ST|=2•
    b2
    a
    ，利用
    |CD|
    |ST|
    =2
    		6
    可得：2a2=3b4，结合a2=b2+4，即可求得椭圆M的方程；
    （2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，利用向量的运算，表示出
    PE
    •
    PF
    ，从而求
    PE
    •
    PF
    的最大值转化为求
    NP
    2    的最大值，用坐标表示出
    NP
    2    ，即可求得
    PE
    •
    PF
    的最大值；
    方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），用坐标表示出
    PE
    •
    PF
    ，利用配方法，即可求得结论；
    方法3：分类讨论：直线EF的斜率存在与不垂直，EF的方程与圆的方程联立，用坐标表示出
    PE
    •
    PF
    ，利用配方法，即可求得结论．
    解答：解：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，|ST|=2•
    b2
    a
    ，
    由
    |CD|
    |ST|
    =2
    		6
    可得：2a2=3b4，又a2=b2+4，则3b4-2b2-8=0，解得：b2=2，a2=4，
    所以椭圆M的方程为M：
    x2
    6
    +
    y2
    2
    =1    ．…（4分）
    （2）方法1：设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，
    则
    PE
    •
    PF
    =(
    NE
    -
    NP
    )•(
    NF
    -
    NP
    )    =(-
    NF
    -
    NP
    )•(
    NF
    -
    NP
    )    =
    NP
    2    -
    NF
    2    =
    NP
    2    -1    ．
    从而求
    PE
    •
    PF
    的最大值转化为求
    NP
    2    的最大值．…（6分）
    因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x0，y0），所以
    x02
    6
    +
    y02
    2
    =1    ，即x02=6-3y02．…（8分）
    因为点N（0，2），所以
    NP
    2    =x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12    ．…（10分）
    因为y0∈[-
    		2
    ，
    		2
    ]    ，所以当y0=-1时，
    NP
    2    取得最大值12． 
    所以
    PE
    •
    PF
    的最大值为11．…（12分）
    方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），因为E，F的中点坐标为（0，2），所以
    x2=-x1
    y2=4-y1.

    所以
    PE
    •
    PF
    =(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)    =（x1-x0）（-x1-x0）+（y1-y0）（4-y1-y0）
    =
    x
    2
    0
    -
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    0
    -
    y
    2
    1
    +4y1-4y0    =
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    -4y0-(
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    -4y1)    ．…（6分）
    因为点E在圆N上，所以
    x
    2
    1
    +(y1-2)2=1    ，即
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    -4y1=-3    ．
    因为点P在椭圆M上，所以
    x
    2
    0
    6
    +
    y
    2
    0
    2
    =1    ，即
    x
    2
    0
    =6-3
    y
    2
    0
    ．…（10分）
    所以
    PE
    •
    PF
    =-2
    y
    2
    0
    -4y0+9    =-2(y0+1)2+11．
    因为y0∈[-
    		2
     ， 
    		2
    ]    ，所以当y0=-1时，(
    PE
    •
    PF
    )max=11    ．…（12分）
    方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，
    由
    y=kx+2
    x2+(y-2)2=1
    ，解得x=±
    1
    		k2+1
    ．…（6分）
    因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），所以
    x02
    6
    +
    y02
    2
    =1    ，即x02=6-3y02．
    所以
    PE
    =(
    1
    		k2+1
    -x0，
    k
    		k2+1
    +2-y0)    ，
    PF
    =(-
    1
    		k2+1
    -x0，-
    k
    		k2+1
    +2-y0)    …（8分）
    所以
    PE
    •
    PF
    =x02-
    1
    k2+1
    +(2-y0)2-
    k2
    k2+1
    =x02+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11    ．…（10分）
    因为y0∈[-
    		2
    ，
    		2
    ]    ，所以当y0=-1时，
    PE
    •
    PF
    取得最大值11．
    ②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
    由
    x=0
    x2+(y-2)2=1
    ，解得y=1或y=3．
    不妨设，E（0，3），F（0，1）． 因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），
    所以
    x02
    6
    +
    y02
    2
    =1    ，即x02=6-3y02．所以
    PE
    =(-x0，3-y0)    ，
    PF
    =(-x0，1-y0)    ．
    所以
    PE
    •
    PF
    =x02+y02-4y0+3=-2(y0+1)2+11    ．
    因为y0∈[-
    		2
    ，
    		2
    ]    ，所以当y0=-1时，
    PE
    •
    PF
    取得最大值11．
    综上可知，
    PE
    •
    PF
    的最大值为11．…（12分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，正确表示
    PE
    •
    PF
    是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，点A（4，m）在椭圆E上，且
    AF2
    •
    F1F2
    =0    ，点D（2，0）到直线F1A的距离DH=
    18
    5
    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设点P位椭圆E上的任意一点，求
    PF1
    •
    PD
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•福建）如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
     =1(a＞b＞0)    的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=
    1
    2
    ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程．
    （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳二模）如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    		3
    2
    ，经过椭圆E的下顶点A和右焦点F的直线l与圆C：x2+(y-2b)2=
    27
    4
    相切．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）若动点P、Q分别在圆C与椭圆E上运动，求|PQ|取得最大值时点Q的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上高县模拟）如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且
    |CD|
    |ST|
    =2
    		2
    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足
    OA
    +
    OB
    =t
    OP
    （O为坐标原点），求实数t的取值范围．

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