Question

【题目】如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆 相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）． ∵|MN|=3，∴ ，解得 ，
故圆C的方程为 ．
（Ⅱ）把x=0代入方程 ，解得y=1或y=4，
即点M（0，1），N（0，4）．
①当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．
②当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．
联立方程 ，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点，
则 ， ．
∴ =0，
∴∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．

【解析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．