Question

已知集合A={x|ax²-x+1=0，a∈R，x∈R}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）集合的属性是一个关于x的方程，且二次项的系数是字母，故A中只有一个元素时要考虑二次项系数为0的情况，此题应分为两类求解，当a=0时与当a≠0时，分别转化求出求a的值；
（2）A中至多有一个元素，限制词中的至多说明A中可能只有一个元素或者没有元素，故分为两类求解，由（1）知A中只有一个元素时参数的取值范围，再求出A是空集时参数的取值范围，取两部分的并集即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，本题分为两类求解
当a=0时，A中只有一个元素，这个元素为1； …（3分）
当a≠0时，令△=1-4a=0⇒a=

1

4

，A中只有一个元素，这个元素为2．…（6分）
（2）A中只有一个元素说明A中有一个元素或者没有元素，故
若A中只有一个元素，由（1）可知：a=0或a=

1

4

．…（8分）
若A中没有元素，即A=∅，则

a≠0 △=1-4a＜0

⇒a＞

1

4

．…（11分）
综上，a=0或a≥

1

4

．…（12分）

点评：本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是理解题意，将问题进行正确转化，此类题易因为理解不全面，漏掉特殊情况致错，（1）中易漏掉a=0时的情况，（2）中易漏掉空集这种情况，解题时要注意考虑全面，本题考查了推理判断的能力及计算能力，是集合中综合性较强的题，即考查了集合的概念，也考查了二次函数的性质．