Question

已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，f(k)=[S(k)]2+

3

k2+1

，求f（k）的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求弦AB的中点M的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知MN与MC所在直线垂直得到一个关系式，化简即得点M的轨迹方程．
（2）先将y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，最后结合导数求解函数f（k）的最大值即可．

解答：解：（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，∴

y-1

x

•

y-3

x-2

=-1，（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x²+y²-2x-4y+3=0，

7- 7

4

＜x＜

7+ 7

4

．（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=

1

2

•|ON|•|x2-x1|
将y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∵x1+x2=

4(1+k)

1+k2

，x1•x 2=

7

1+k2

∴4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

32k-12-12k2

(1+k2)2

，
∴f(k)=S2(k)+

3

k2+1

=

8k

(k2+1)2

，（10分）
∵由f′(k)=

-24(k+ 3 3 )(k- 3 3 )

(k2+1)3

=0，∴k=±

3

3

，∵△＞0得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

，
∴k=

3

3

时，f（k）的最大值为

3 3

2

．（14分）

点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求最值的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．