Question

多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F、G分别为PA、AD和BC的中点，M为PG上的点，且PM：MG=3；4．
（1）求多面体PABCD的体积；
（2）求证：PC∥平面BDE；
（3）求证：FM⊥平面PBC．

Answer 1

解：（1）根据几何体的三视图可得多面体PABCD是高为的四棱锥，平面PAD垂直于边长等于2的正方形ABCD所在平面，△PAD是等边三角形，
故四棱锥P-ABCD的体积V==．
（2）设AC和 BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，又E为PA的中点，故OE是三角形PAC的中位线，∴OE∥AC．
而OE?平面BDE，AC不在平面BDE内，∴PC∥平面BDE．
（3）连接PF、FG，则BC⊥平面PFG，∴BC⊥FM．△PFG中，PF=，FG=2，PG=．
由PM：MG=3：4可得MG=，FM=．∴FM²+MG²=FG²，∴FM⊥PG．
又PG∩BC=G，∴FM⊥平面PBC．
分析：（1）根据几何体的三视图可得四棱锥的高，等边三角形PAD所在平面垂直于边长等于2的正方形ABCD所在平面，再根据棱锥的体积公式求出结果．
（2）设AC和 BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，由OE是三角形PAC的中位线，OE∥AC，利用直线与平面平行的判定定理证得PC∥平面BDE．
（3）连接PF、FG，则BC⊥平面PFG，故BC⊥FM．利用勾股定理证明FM⊥PG，这样，FM垂直于平面PBC 内的两条相交直线PG和BC，由直线与平面垂直的判定定理证得FM⊥平面PBC．
点评：本题主要考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，直线与平面平行的判定以及直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．