Question

（本小题满分16分）

数列的前n项和为，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立。

（１）  若数列为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；

（２）  若设数列的前ｎ项和为，求；

（３）  若C=0，是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值。

 

Answer 1

【答案】

⑴见解析；⑵．⑶不超过的最大整数为．

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，以及数列的求和，和运用数列来证明不等式的综合运用。

（1）利用已知条件中通项公式和前n项和的关系式，得到前几项，结合等差数列的定义得到关系的证明。

（2）利用第一问的结论，表示数列的通项公式，分析特点，运用错位相减法等求解前n项和。

（3）根据等差数列得到需要求解的和式，得到结论。

解：⑴因为为等差数列，设公差为，由，

得，

即对任意正整数都成立．

所以所以．       ………………………………4分

⑵ 因为，所以，

当时，，

所以，即，

所以，而，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． …………… 7分

于是．所以①，，②

由①②，

得．

所以．…………………………………………………………………10分

⑶ 因为是首项为的等差数列，由⑴知，公差，所以．

而

，……………………………14分

所以，

所以，不超过的最大整数为．………………………………………………16分