Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-

2

3

．
（1）求证：f（x）为减函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数单调性的定义进行判定，设在R上任意取两个数m，n且m＞n，判定f（m）-f（n）的符号即可得到结论；
（2）先研究函数的奇偶性，然后根据单调性可得函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）设在R上任意取两个数m，n且m＞n
则f（m）-f（n）=f（m-n）
∵m＞n∴m-n＞0
而x＞0时，f（x）＜0则f（m-n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）为减函数；
（2）由（1）可知f（x）_max=f（-3），f（x）_min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0
∴f（0）=0
令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2，则f（-3）=2
∴f（x）_max=f（-3）=2，f（x）_min=f（3）=-2．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定和奇偶性的判定，以及抽象函数的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．