Question

【题目】已知函数，其中常数．

（Ⅰ）当，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设定义在上的函数在点处的切线方程为， 若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是，单调递减区间为；（Ⅱ）当时，函数存在“类对称点”．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，结合的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一： 时，求出的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当时， ，结合函数的单调性求出即可；法二：猜想存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可.

试题解析：（Ⅰ）解 函数的定义域为，因为

所以， 因，

由，即得或， 由得；

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为；

（Ⅱ）解法一：当时，

所以在点处的切线方程为

令

则

易知；

又=0

则

当时， ，令，则，所以函数在上单调递减，所以当时， ，从而有时， ；

当时， ，令，则，所以在上单调递减，所以当时， ，从而有时， ；

所以当时，函数不存在“类对称点”。 ……11分

当时， ，所以在上是增函数，

当时， ，

当时， ，

故恒成立

所以当时，函数存在“类对称点”.

（Ⅱ）解法二

当时，

所以在点处的切线方程为

若函数存在“类对称点”

则等价当时， ，当时恒成立

当时恒成立，

等价于恒成立

即

令

而

要使在恒成立，只要在单调递增即可

所以，即当时恒成立，同理可得，

所以

所以函数存在“类对称点”，其中一个“类对称点”横坐标为.