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    （08年岳阳一中二模理）（13分） 已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．

    （I）求线段中点的轨迹的方程；

    （II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

    解析：（I）由题可设，，，其中。

    则    1分

    ∵的面积为定值2，

    ∴。     2分

    ，消去，得：．    4分

    由于，∴，所以点的轨迹方程为（）． 5分

    （II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

    由消去得：，    6分

    设点、、、的横坐标分别是、、、，

    ∴由得    8分

    解之得：．

    ∴。    9分

    由消去得：，

    由消去得：，

    ∴。     10分

    由于为的三等分点，∴。    11分

    解之得。     12分

    经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为。13分

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    （08年岳阳一中二模理）（12分）  一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域均为R的函数：

    .

    （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数

    为奇函数的概率；

    （2）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行。求抽取次数的分布列和数学期望.

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    （08年岳阳一中二模理）（12分） 已知梯形中，∥，，， 、分别是、上的点，∥，，是的中点，沿将 梯形翻折，使平面平面(如图)。

      （1）当时，求证：；

      （2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；当取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小。

     

     

             

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    （08年岳阳一中二模理）（13分） 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。

    （1）试求函数的单调区间；

    （2）已知各项不为零的数列满足，求证：；

    （3）设，为数列的前项和，求证：。

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    （08年岳阳一中二模文）（12分）

    有A、B、C、D、E五支足球队参加某足球邀请赛，比赛采用单循环制，每场比赛胜队得3分，负队得0分；若为平局则双方各得1分。已知任何一个队打胜、打平或被打败的概率都是。

    （1）       求打完全部比赛A队取得3分的概率；

    （2）       求打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数的概率。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （08年岳阳一中二模文）（12分）

    设数列的各项都是正数，且对任意，都有，记为数列的前项和。

    （1）       求证：；

    （2）       求数列的通项公式；

    （3）       若（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有。

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