Question

设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E为PD的中点．
（1）求证：直线PB∥面ACE
（2）求证：直线AE⊥面PCD
（3）求直线AC与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于点O，连接OE，由三角形中位线定理可得OE∥PB，由直线与平面平行的判定定理可得直线PB∥面ACE
（2）由已知中PA⊥面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，可得PA⊥CD，CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAD，根据线面垂直的可得CD⊥AE，结合已知中PA=AB=AD，E为PD的中点，我们可得AE⊥PD，由线面垂直的判定定理，即可得到答案．
（3）由（2）的结论可得：AC在面PCD内的射影为CE，则直线AC与平面PCD所成角为∠ACE，解三角形ACE即可求出直线AC与平面PCD所成角的大小．

解答：解：（1）连接BD交AC于点O，连接OE
易知：O为BD的中点
而E为PD的中点
∴OE∥PB
又PB不在平面ACE内，OE在平面ACE内
∴PB∥平面ACE         …（4分）
（2）证明：∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E为PD的中点∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD…（8分）
（3）由（2）知：AC在面PCD内的射影为CE
故直线AC与平面PCD所成角为∠ACE        …（10分）
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形ACF中，易知：AE=

2

，AC=2

2

∴sin∠ACE=

AE

AC

=

1

2

∴∠ACE=30°
即：直线AC与平面PCD所成角的大小为30°     …（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是证得OE∥PB，（2）的关键是证得CD⊥AE，AE⊥PD，（3）的关键是证得直线AC与平面PCD所成角为∠ACE．