Question

等比数列{a_n}中．a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如数列{b_n}满足b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求数列b_n的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由表格可看出a₁，a₂，a₃分别是2，6，18，由此可求出{a_n}的首项和公比，继而可求通项公式
（Ⅱ）先写出b_n发现b_n由一个等比数列、一个等差数列乘（-1）ⁿ的和构成，故可分组求和．

解答：解：（Ⅰ）当a₁=3时，不合题意
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意
当a₁=10时，不合题意
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，所以q=3，
所以a_n=2•3^n-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[（n-1）ln3+ln2]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3
所以s_n=2（1+3+…+3^n-1）+[-1+1-1+1+…+（-1）ⁿ]（ln2-ln3）+[-1+2-3+4-…+（-1）ⁿn]ln3
所以当n为偶数时，s_n=2×

1-3n

1-3

+

n

2

ln3=3n+

n

2

ln3 -1
当n为奇数时，s_n=2×

1-3n

1-3

-(ln2-ln3)+(

n-1

2

-n)ln3=3n-

n-1

2

ln3-ln2 -1
综上所述s_n=

3n+ n 2 ln3 -1           n为偶数 3n- n-1 2 ln3-ln2 -1   n为奇数

点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．